Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
British Library, fonds « Copies of Exported Manuscripts Deposited under Government Export Regulations&nsp;» (London BL, RP 8576/1)
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 0rMonsieur
Monsieur de Maupertuis m'a remis tant Votre lettre que Vos ouvrages, dont je Vous suis infiniment obligé : ces derniers m'avoient inspiré d'abord une si haute idée de Votre Genie, que tout ce qui vient de Vous, me doit être precieux au dernier degré. J'ai vu avec beaucoup de surprise, que Vous manies avec tant de facilité les plus difficiles problémes de la mechanique, dont tout autre que Vous auroit peur, d'en entreprendre la solution. La pluspart des problemes, que Vous traites dans Votre Dynamique sont de cette nature, et je dois avouer franchement, quand je traitois le problême du mouvement vacillatoire d'un corps à une base arrondie sur une surface quelconq[ue], que je ne savois pas encore, comment introduire dans le calcul le mouvement progressif, desorte que Votre remarque est parfaitement bien fondée. Pour Votre Hydrodynamique je ne l'ai pas encore parcourue avec tant d'application, pour etre en êtat de connoitre clairement les differends entre Vous et Mr Bernoulli, mais je ne manquerai pas d'emploier à cette recherche le premier loisir, que je trouverai. Cependant il me semble que dans les problemes d'Hydrodynamique on ne peut pas si surement conter sur la verité des solutions, qu'on tire des principes de la mecanique, car on est toujours obligé de supposer un certain mouvement dans les differentes parties de la liqueur, pour en determiner les forces necessaires à leur acceleration ; et si en effet le vrai mouvement étoit different, on ne devroit pas être surpris, si l'experience étoit contraire au calcul. On rencontre principalement ces difficultes quand on veut determiner les effets de la resistence de l'eau sur un corps solide, qui s'y meut avec une vitesse quelconque : car de quelle maniere, qu'on determine les pressions de l'eau sur la surface du corps, je n'ai jamais pu mettre d'accord le calcul avec l'experience, et je croi que la determination de la resistence est une partie essentielle de l'hydrodynamique.
Permettes moi aussi, que je Vous marque une reflexion sur Votre probleme, où plusieurs corps se choquent à la fois ; il me semble que ce probleme en lui meme est indeterminè, et qu'il faut absolument avoir égard à la durée de chaque choc. Car quoiqu'on suppose, que le choc s'acheve dans un instant, on est neant moins obligé de comparer entr'eux ces divers instants, et selon le divers rapport, qui s'y peut trouver, la solution deviendra differente : il y a meme des cas, où ces instants different necessairement entr'eux ; et alors on sera obligé de resoudre les choqs dans leurs élemens. Or je voi que Vous aves deja fait presque la meme reflexion dans Vos remarques sur ce probleme.
Mr de Maupertuis m'a aussi communiqué Votre piece sur le mouvement d'une corde, dont j'ai été tout à fait charmé. Jusqu'ici on n'avoit consideré que les vibrations reguliéres, où toute la corde vient toujours en meme tems, dans sa situation naturelle : or ce mouvement ne peut avoir lieu, que dans le cas, où la corde a été forcée au commencement, de son etat naturel selon la trochoide allongée : de sorte que, si la corde n'a été frappée que dans un point, ou qu'on lui ait donné une figure quelconque en la relachant subitement, il est clair, que son mouvement doit étre bien different du premier, et que la courbure de la corde à chaque instant doit dependre de la courbe, que la corde a eu au commencement. Votre solution est aussi parfaite qu'ingenieuse, par laquelle Vous saves si admirablement determiner la nature des fonctions, dont Vous ne saves que quelques proprietes de leurs differentiels. Quoique Vous n'en fassies aucune application à des cas particuliers, j'ai remarqué qu'on en peut determiner tres aisement dans chaque cas proposé le mouvement entier de la corde.
Soit \(AMB\) la courbe qu'on eut donnée à la corde au commencement : (soit reguliere ou irreguliere) transportes la meme figure alternativement sur la droite prolongée de part et d'autre \(AB\) en \(Ab\), \(ba'\) etc. et \(Ba\) etc. desorte que \(Ab\), \(a'b\), \(aB\) etc. soient egales et semblables à \(AB\).
Soit ensuite \(\alpha \mu \beta\) la courbure de la meme corde après un tems \(t\), qu'elle a été subitement relachée ; et ayant pris l'abscisse \(\alpha \pi = AP\), prenes sur \(AB\) de part et d'autre \(PR = PT = t\), et suivant Votre solution l'appliquée \(\pi \mu\) sera toujours \(= \frac{RS + TV}{2}\). Si le tems \(t\) est plus grand [de sorte] que les points \(R\) et \(T\) tombent hors d'\(AB\), il faut prendre les appliquées que les courbes \(Ab\) et \(Ba\) donneront. On peut aussi donner une équation analytique qui renferme la solution generale. Soit la longitude de la corde \(AB = \alpha \beta = c\) le poids de la corde \(= C\), la force, dont la corde est tendüe \(= F\), et âpres qu'on eut donne à la corde au commencement une figure quelconq[ue] \(AMB\), de laquelle le mouvement de la corde ait commencé : apres un tems \(= t\), exprimé comme on est accoutumé de le faire dans la mecanique, nommes \(t\surd{\frac{cF}{2C}} = u\), et soit \(\pi\) l'arc de 180° dans un cercle dont le rayon \(=1\). Cela posé mettant l'abscisse \(\alpha \pi = x\) et l'appliquée \(\pi \mu = y\), on aura toujours : \[y = \alpha \sin \frac{ \pi x}{c} \cos \frac{ \pi u}{c} + \beta \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c} + \gamma \sin \frac{3 \pi x}{c} \cos \frac{3 \pi u}{c} + \delta \sin \frac{4 \pi x}{c} \cos \frac{4 \pi u}{c} + {\rm etc}.\] Si Vous mettes \(u = c\), le tems \(t\) deviendra \(= \surd{\frac{2Cc}{F}}\) et ce tems sera à une seconde comme \(\surd{\frac{Cc}{2Fa}}\) à 1, si \(a\) marque la hauteur, par laquelle un corps tombe dans une seconde, ce qui sert à reduire les tems \(t\) de ce calcul à la mesure ordinaire. Donc au commencement la courbure de la corde sera exprimée par cette équation en posant \(u = 0\) : où les cosinus des angles \(\frac{\pi u}{c}\), \(\frac{2\pi u}{c}\) etc. deviennent égaux au rayon \(= 1\), \[y = \alpha \sin \frac{ \pi x}{c} + \beta \sin \frac{2 \pi x}{c} + \gamma \sin \frac{3 \pi x}{c} + \delta \sin \frac{4 \pi x}{c} + {\rm etc.}\] où les coefficients \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), etc. doivent être determinés par la figure initiale. Si apres \(\alpha\) tous les autres coefficients \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), etc. evanouissent, on obtient le cas des oscillations reguliéres, qui sont les seules, qu'on ait considerées jusqu'ici : et l'équation \(y = \alpha \sin \frac{\pi x}{c}\) marque la trochoide allongée, ou bien la lineam sinuum de Leibniz : et apres le tems \(t = u \surd{\frac{2C}{Fc}}\), la courbe sera exprimée par \(y = \alpha \sin \frac{\pi x}{c} \cos \frac{\pi u}{c}\), et mettant \(u = \frac{1}{2}c\), à cause de \(\cos \frac{\pi}{2} = \cos 90^{\circ} = 0\), toute la corde parviendra dans la ligne droite \(AB\), et partant une oscillation ou vibration s'achevera en mettant \(u = c\), et ce tems sera \(=\surd{\frac{Cc}{2Fa}}''\), ou dans une seconde la corde fera \(\surd{\frac{2 Fa}{Cc}}\) vibrations. Si hormi \(\beta\) toutes les autres lettres \(\alpha\), \(\gamma\), \(\delta\) etc. evanouissent, on aura le cas \(y = \beta \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c}\), où les deux moitiés de la corde achevent separement leurs vibrations : et ainsi de suite, de sorte que l'equation generale donnée contient tous les mouvemens possibles : Elle a aussi la proprieté, qui est requise selon Votre theorie : Car en ne supposant que \(x\) variable, on aura \[\frac{ddy}{dx^2} = - \frac{\alpha \pi^2}{cc}\sin \frac{ \pi x}{c} \cos \frac{ \pi u}{c} - \frac{4\beta \pi^2}{cc} \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c} - {\rm etc}.\] et en ne mettant que \(u\) variable on aura \[\frac{ddy}{du^2} = - \frac{\alpha \pi^2}{cc}\sin \frac{ \pi x}{c} \cos \frac{ \pi u}{c} - \frac{4\beta \pi^2}{cc} \sin \frac{2 \pi x}{c} \cos \frac{2 \pi u}{c} - {\rm etc}.\] de sorte que \(\frac{ddy}{dx^2} = \frac{ddy}{du^2}\).
Enfin je serai extremement ravi de voir Vos additions à Votre excellente Piece sur les Vents et je Vous remercie par avance de ce beau présent que Vous me destines : étant avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre très humble et très obeïssant serviteur
L. Euler
Berlin ce 2 Octobr. 1746
46.10  |  24 septembre 1746
Frédéric II à D'Alembert
54.08  |  2 juillet 1754
Frédéric II à D'Alembert
A60.02  |  [24 février 1760]
Frédéric II à D'Alembert
A62.07  |  3 août 1762
Frédéric II à D'Alembert
63.17  |  14 avril 1763
Frédéric II à D'Alembert
63.65  |  16 [août 1763]
Frédéric II à D'Alembert
64.37  |  [août 1764]
Frédéric II à D'Alembert
64.44  |  [fin septembre 1764]
Frédéric II à D'Alembert
64.51  |  [octobre 1764]
Frédéric II à D'Alembert
64.58  |  [début décembre 1764]
Frédéric II à D'Alembert
65.01  |  [début janvier 1765]
Frédéric II à D'Alembert
65.23  |  24 mars 1765
Frédéric II à D'Alembert
65.60  |  20 août 1765
Frédéric II à D'Alembert
65.81  |  23 novembre 1765
Frédéric II à D'Alembert
66.50  |  26 juillet 1766
Frédéric II à D'Alembert
67.40  |  5 mai 1767
Frédéric II à D'Alembert
68.01  |  7 janvier 1768
Frédéric II à D'Alembert
68.20  |  24 mars 1768
Frédéric II à D'Alembert
68.35  |  7 mai 1768
Frédéric II à D'Alembert
68.55  |  4 août 1768
Frédéric II à D'Alembert
68.62  |  4 octobre 1768
Frédéric II à D'Alembert
69.05  |  16 janvier 1769
Frédéric II à D'Alembert
69.21  |  22 avril 1769
Frédéric II à D'Alembert
69.41  |  2 juillet 1769
Frédéric II à D'Alembert
69.57  |  28 août 1769
Frédéric II à D'Alembert
69.64  |  14 septembre 1769
Frédéric II à D'Alembert
69.80  |  25 novembre 1769
Frédéric II à D'Alembert
70.01  |  4 janvier 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.02  |  [8] janvier 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.13  |  17 février 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.28  |  3 avril 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.40  |  17 mai 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.59  |  7 juillet 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.69  |  28 juillet 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.79  |  18 août 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.96  |  26 septembre 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.103  |  18 octobre 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.105  |  1 novembre 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.116  |  12 décembre 1770
Frédéric II à D'Alembert
70.117  |  18 décembre 1770
Frédéric II à D'Alembert
71.06  |  29 janvier 1771
Frédéric II à D'Alembert
71.21  |  13 mars 1771
Frédéric II à D'Alembert
71.29  |  4 avril 1771
Frédéric II à D'Alembert
71.38  |  7 mai 1771
Frédéric II à D'Alembert
71.52  |  25 juillet 1771
Frédéric II à D'Alembert
71.69  |  16 septembre 1771
Frédéric II à D'Alembert
71.86  |  30 novembre 1771
Frédéric II à D'Alembert
72.02  |  26 janvier 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.14  |  7 avril 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.31  |  30 juin 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.37  |  23 juillet 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.48  |  17 septembre 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.52  |  6 octobre 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.57  |  27 octobre 1772
Frédéric II à D'Alembert
72.68  |  4 décembre 1772
Frédéric II à D'Alembert
73.18  |  28 janvier 1773
Frédéric II à D'Alembert
A73.02  |  [27 avril 1773]
Frédéric II à D'Alembert
73.51  |  27 avril 1773
Frédéric II à D'Alembert
73.67  |  26 juin 1773
Frédéric II à D'Alembert
73.107  |  16 décembre 1773
Frédéric II à D'Alembert
74.03  |  7 janvier 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.20  |  11 mars 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.33  |  15 mai 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.49  |  28 juillet 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.71  |  18 octobre 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.81  |  15 novembre 1774
Frédéric II à D'Alembert
74.87  |  14 décembre 1774
Frédéric II à D'Alembert
75.02  |  6 janvier 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.16  |  22 février 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.19  |  18 mars 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.33  |  8 mai 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.42  |  19 juin 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.50  |  5 août 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.60  |  9 septembre 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.74  |  23 octobre 1775
Frédéric II à D'Alembert
75.83  |  30 décembre 1775
Frédéric II à D'Alembert
76.11  |  17 mars 1776
Frédéric II à D'Alembert
A76.03  |  [27 avril 1776]
Frédéric II à D'Alembert
76.27  |  16 mai 1776
Frédéric II à D'Alembert
76.34  |  9 juillet 1776
Frédéric II à D'Alembert
76.52  |  7 septembre 1776
Frédéric II à D'Alembert
76.62  |  22 octobre 1776
Frédéric II à D'Alembert
76.65  |  26 octobre 1776
Frédéric II à D'Alembert
76.74  |  29 novembre 1776
Frédéric II à D'Alembert
77.03  |  25 janvier 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.09  |  7 mars 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.20  |  1 juin 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.22  |  23 juin 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.29  |  13 août 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.36  |  [septembre 1777]
Frédéric II à D'Alembert
77.38  |  5 octobre 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.43  |  11 novembre 1777
Frédéric II à D'Alembert
77.52  |  [10] décembre 1777
Frédéric II à D'Alembert
78.54  |  [octobre-novembre 1778]
Frédéric II à D'Alembert
79.46  |  6 juin 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.69  |  7 octobre 1779
Frédéric II à D'Alembert
79.77  |  3 décembre 1779
Frédéric II à D'Alembert
80.06  |  [janvier 1780]
Frédéric II à D'Alembert
80.18  |  [mars 1780]
Frédéric II à D'Alembert
80.17  |  26 mars 1780
Frédéric II à D'Alembert
80.23  |  1er mai [1780]
Frédéric II à D'Alembert
80.28  |  22 juin 1780
Frédéric II à D'Alembert
80.41  |  1 août 1780
Frédéric II à D'Alembert
80.50  |  2 octobre 1780
Frédéric II à D'Alembert
80.54  |  20 novembre 1780
Frédéric II à D'Alembert
81.03  |  [6] janvier 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.13  |  24 février 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.18  |  13 avril 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.28  |  28 mai 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.31  |  14 [juin] 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.32  |  22 juin 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.45  |  12 août 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.56  |  27 septembre 1781
Frédéric II à D'Alembert
81.64  |  10 novembre 1781
Frédéric II à D'Alembert
82.03  |  13 janvier 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.07  |  22 février 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.16  |  17 mars 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.18  |  23 mars 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.28  |  26 avril 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.32  |  18 mai 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.40  |  5 juillet 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.48  |  8 septembre 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.56  |  30 octobre 1782
Frédéric II à D'Alembert
82.65  |  30 décembre 1782
Frédéric II à D'Alembert
83.26  |  18 mai 1783
Frédéric II à D'Alembert
83.32  |  22 juillet 1783
Frédéric II à D'Alembert
83.39  |  30 septembre 1783
Frédéric II à D'Alembert